Helfgott
acaba de demostrar la conjetura débil de Goldbach, un problema de
teoría de números que había permanecido irresuelto por 271 años.
Harald Helfgott. Recuerde ese nombre.
El matemático peruano acaba de hacer historia al hacer pública su demostración
de un enunciado de importancia central en teoría de números: la
conjetura débil de Goldbach. Este resultado (del que seguramente oiremos
más en el futuro) viene a coronar una trayectoria académica de ensueño.
A sus 35 años, Helfgott ya se ha hecho acreedor, entre otras
distinciones, del Premio Leverhulme, otorgado por la Fundación
Leverhulme, del Premio Whitehead, otorgado por la Sociedad Matemática de
Londres, y del Premio Adams, otorgado por la Facultad de matemáticas de
Cambridge y el St. John’s College. Vive actualmente en París y se
desempeña como investigador en el CNRS (Centro Nacional para la
Investigación Científica).
Inmediatamente luego de que la noticia
rebotara en las redes (luego de haber sido mencionada por el matemático
australiano Terence Tao en su cuenta de Google+), lo contactamos y accedió a concedernos por e-mail la siguiente entrevista:
Alonso Almenara: La conjetura débil de Goldbach afirma que:
Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.
Tenemos expresada en una línea de texto
una verdad que no había podido ser demostrada por más de 270 años, y que
ha sido descrita por GH Hardy en su famoso discurso de 1921 como uno de
los problemas irresueltos más difíciles de las matemáticas.
Curiosamente, el enunciado es entendible
por un escolar; su demostración, sin embargo, ocupa 133 páginas.
¿Podría intentar describir para una audiencia de no especialistas
algunas de las razones por las que esta demostración ha eludido a los
matemáticos por tanto tiempo?
Harald Helfgott:
Primero – se logró progresar muy poco antes del siglo XX. El primer gran
paso fue tomado por Hardy y Littlewood, en 1923; fueron ellos quienes
comenzaron a usar el análisis de Fourier (“método del círculo”) en la
teoría de números. En general, la teoría analítica de números – la rama
que estudia, entre otras cosas, cuántos números primos hay hasta un
número dado, cómo están distribuidos, etc. - comenzó a florecer recién a
fines del siglo XIX.
Los trabajos de Hardy y Littlewood, en
1923, y de Vinogradov, en 1937, fueron trabajos pioneros, hechos en una
época en que varios conceptos que resultaron ser relacionados a ellos –
por ejemplo, la así llamada “gran criba” – aun no habían sido
desarrollados o comprendidos completamente. Curiosamente, la
importancia de “suavizar” funciones antes de usar el análisis de Fourier
era algo comprendido por los analistas, como Hardy-Littlewood, o por
los matemáticos aplicados y físicos, o, probablemente, por los técnicos
de su estación de radio, pero no se volvió un lugar común entre la gente
de teoría de números hasta hace una generación, a lo más.
También se ha requerido bastante tiempo
de cálculo, dado el enfoque que seguí, aunque los requisitos de tiempo
de máquina, si bien considerables, no fueron enormes. Hace 30 años,
había computadoras de suficiente potencia, pero el tiempo de maquina era
mucho más costoso, y conseguir acceso a él hubiera sido una larga labor
de política académica. En consecuencia, los matemáticos seguían rutas
un poco distintas al intentar probar el teorema.
Por lo demás, no es inusual que un
problema matemático quede irresuelto por siglos. Ya los griegos se
planteaban preguntas que fueron resueltas solo en el siglo XIX.
AA: Su trabajo es el
paso final en una serie de avances recientes en la carrera hacia la
demostración del teorema débil de Goldbach. Entre los matemáticos
contemporáneos que se han interesado en ese tema podemos mencionar al
medallista Fields Terence Tao, a quien algunos han catalogado como el
matemático más brillante en la actualidad. Tao es quien más cerca ha
estado hasta ahora de lograr lo que usted ha logrado, y tengo entendido
que él ha estado en contacto con usted y ha ratificado su trabajo. ¿Me
podría decir algunas palabras sobre ese contacto entre colegas con un
matemático tan admirado que valora y entiende la magnitud de su
investigación?
HH: Yo diría que Tao me
tiene confianza en esto, y no que lo haya ratificado completamente –
¡todavía tiene que leerlo! Conoce los métodos que he utilizado, hemos
compartido ideas en el pasado, hemos hablado del problema... También
escribimos un artículo junto con una tercera persona sobre otro tema
hace unos años. En estos últimos tiempos, empero, he hablado más del
problema con otra gente – por ejemplo, [Olivier] Ramaré, quien logró el
resultado inmediatamente anterior al de Tao en 1995.
La mayor parte de los medallistas Fields
que conozco son gente sencilla. ¡Los difíciles son los que quisieran
volverse medallistas Fields! Claro, a veces los hábitos quedan... Pero
es lo mismo en cualquier área.
AA: La aproximación que
usted ha usado para lograr estos resultados aún no nos encamina
necesariamente hacia una demostración final del teorema fuerte de
Goldbach, que estipula que Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. ¿Podría decirnos algunas palabras al respecto? ¿Tiene planes de atacar este problema?
HH: Me parece que el
teorema fuerte de Goldbach es mucho más difícil. Se necesitará un cambio
completo de enfoque. No sé si será resuelto en nuestras vidas.
AA: Aunque usted acaba
de dar a conocer sus resultados hace muy poco, imagino que ya ha habido
algunas reacciones de sorpresa o de escepticismo en la comunidad
matemática internacional. ¿Cómo describiría los comentarios que ha
recibido?
HH: En verdad la
reacción ha sido muy positiva. Varios especialistas sabían que yo
trabajaba sobre el problema. Mi trabajo, en general, es conocido en el
área, y al parecer se me tiene confianza.
AA: ¿Cómo se inició en las matemáticas? ¿De dónde proviene esa pasión?
HH: De la manera
aburrida: de la casa. Mi padre escribió libros de análisis y geometría
cuyos borradores leí; mi madre es estadística. Crecí entre libros, y se
me alentó en mis intereses. Cuando tenía 12 o 13 años, comencé a ir a
grupos de jóvenes que se reunían en San Marcos y la Católica para
entrenarse para las competencias (“olimpiadas de matemática”) a nivel
latinoamericano. Pronto se nos hizo claro que la competencia no era lo
más importante – lo importante era aprender juntos, pedir consejos a
estudiantes con más experiencia, y conocer a jóvenes de otros países con
los mismos intereses.
AA: Usted ha
desarrollado una carrera espectacular en los Estados Unidos y Europa; ha
ganado importantes premios y su trabajo ya era conocido en este ámbito
en círculos académicos. Sin embargo, estos nuevos resultados van a darle
muy pronto un nivel de visibilidad distinto. ¿Cómo se siente ahora y
cuáles son sus proyectos a futuro?
HH: Creo que se trata
de una buena oportunidad para hacer un poco de divulgación matemática.
Ya desde hace tiempo ayudo a organizar cursillos y escuelas de verano
dentro y fuera de Sudamérica – probablemente ser visible fuera del
ámbito matemático facilite conseguir apoyo.
AA: Este logro que
acaba de hacer público va a inspirar a muchas personas. Entre ellas, a
escolares y jóvenes matemáticos peruanos. ¿Qué recomendaciones les daría
a estas personas que a lo mejor sueñan con embarcarse en una aventura
como la suya y dedicar su vida a la investigación en este campo tan
competitivo?
HH: Lo mejor es
comenzar pronto, de preferencia desde la secundaria, y no limitarse a lo
que enseñan en la escuela. Es muy estimulante conseguirse libros con
problemas – uno de los primeros textos serios que leí fue precisamente
el librito de Vinogradov, de teoría de números. Es igualmente importante
ponerse en contacto con otros estudiantes – si uno aprende solo, puede
pasar mucho tiempo en cuestiones de poca importancia; se aprende más
rápido discutiendo.
AA: Aunque es difícil
prever en qué contextos se terminará aplicando un aporte como éste, sé
que ha habido avances en la teoría de números que han resultado bastante
fructíferos en el campo de la seguridad de la información. Cada vez que
alguien manda un e-mail o hace una transacción por internet está
poniendo a trabajar resultados obtenidos por alguno de sus colegas.
¿Piensa que sus investigaciones podrían tener un impacto similar?
HH: Dudo que esto tenga
aplicación alguna a la criptografía. Más bien, para llegar al resultado
final, tuve que mejorar muchas técnicas de varias áreas, algunas de
ellas aplicadas. Por ejemplo, necesitaba cotas explicitas para lo que se
conoce como funciones parabólicas cilíndricas; estas habían sido
utilizadas por mucho tiempo por físicos e ingenieros, pero, si bien
había una buena serie de trabajos de alrededor de 1960, no tenían lo que
necesitaba, así que tuve que derivar cotas explicitas yo mismo. Estas
serán de interés para los especialistas de las ramas aplicadas, quienes
ahora, sin duda, retomaran esa parte de mi trabajo y la mejoraran a su
vez. Doy un ejemplo menor pero espero que sea bastante típico.
AA: Cuando lo contacté
para hacerle esta entrevista, usted me comentó que cada vez que pasa por
Lima se vuelve un asiduo oyente de Radio Filarmonía. Me gustaría
preguntarle dos cosas respecto a eso: por un lado, cuáles son los
compositores o los géneros musicales que más le interesan, y por otro si
cree que de algún modo su pasión por las matemáticas tiene una relación
con el placer que siente al escuchar música. ¿Hasta qué punto piensa
que estos campos están relacionados?
HH: Creo que mi primer
contacto con la música de fines del siglo XIX y comienzos del XX fue a
través de radio Filarmonía, cuando todavía era radio Sol Armonía. El
gusto me ha quedado; ahora mismo estaba escuchando la tercera sinfonía
de Roussel.
Hay probablemente más melómanos entre
los matemáticos que en la población en general, o que entre la gente de
Letras. Cuando estaba en la escuela de posgrado, a veces había un
concierto de fin de año solo de la facultad de matemática, en la cual
había muchos buenos intérpretes aficionados. No sé si es un signo de una
afinidad profunda o simplemente una tendencia cultural que se ha
propagado a través de la comunidad matemática internacional.
Probablemente haya un poco de los dos.
En lo que se refiere al otro lado –
muchos músicos saben poco de matemática, y la utilidad de la matemática
para la composición ha sido limitada: puede decirse que hay un tanto de
matemática en Bach o Schoenberg, pero de un tipo muy elemental. Hay
algunas ideas explícitamente matemáticas en cierta música de la segunda
mitad del siglo XX, pero no creo que haya convencido mucho ni a las
audiencias ni a los matemáticos.
Es probable que los lazos más fuertes no
sean entre la matemática y la composición o la interpretación, sino
entre la matemática y la teoría musical, el diseño de instrumentos, las
técnicas de grabación... La teoría musical comenzó como parte de la
matemática, con Pitágoras y sus discípulos. Hablé del análisis de
Fourier, que no es sino el análisis de frecuencias, y del método del
círculo, que es el análisis de frecuencias racionales – eso está
cerquísima de la música. El timbre de un instrumento está dado por la
intensidad de sus armónicos, aparte del efecto del ruido. Cuando uno
toca “la”, no suena solo éste “la”, a 440 hertzios, sino también, en
menor medida, “la” a 880 hertzios, “mi” a 660 hertzios (660 = 440
multiplicado por 3/2), “fa sostenido” a aproximadamente 735 hertzios (o
casi 440 multiplicado por 5/3),... En otras palabras, se trata de la
frecuencia principal multiplicada por racionales de pequeño numerador y
denominador. Y, por cierto, sus oyentes también están aplicando el
análisis de Fourier de otra manera: al sintonizar su frecuencia, están
tomando la intensidad del campo electromagnético alrededor de su antena y
aislando el componente de frecuencias en la vecindad inmediata de
102.7FM, para así poder escuchar solo lo que Vds. transmiten.
Ver:
